Beispiel zur Grenzwertberechnung

Hier ein kleines Beispiel zur Grenzwertberechnug einer rationalen Funktion.

Die Aufgabe

\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2x^2-13x+20}{x^2-7x+12}

Lösung

Zuerst zerlege ich die beiden Polynome in ihre Linearfaktoren:

Zählerpolynom

Nullstellen

2x^2-13x+20=0 \quad \Rightarrow \quad x^2-\frac{13}{2}x+10=0

PQ-Formel:
x_{1/2}=\frac{13}{4} \pm \sqrt{\left(-\frac{13}{4}\right)^2-10}

x_1 = 4 \qquad x_2 = \frac{5}{2}

Zähler in Linearfaktoren

2\cdot \left(x-4\right)\cdot\left(x-\frac{5}{2}\right)

Nennerpolynom

Nullstellen

x^2-7x+12=0

PQ-Formel:
x_{1/2}=\frac{7}{2} \pm \sqrt{\left(-\frac{7}{2}\right)^2-12}

x_1 = 4 \qquad x_2 = 3

Nenner in Linearfaktoren

\left(x-4\right)\cdot\left(x-3\right)

Jetzt den Grenzwert berechnen:

\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2\cdot (x-4)\cdot (x-\frac{5}{2})}{(x-4)\cdot (x-3)} \quad \Rightarrow \quad \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2x-5}{x-3} = \frac{2\infty}{\infty} = 2

Plot der Funktion

Man kann sehr gut den Grenzwert von 2 im unendlichen erkennen.

Der Plot der Funktion
Der Plot der Funktion

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